boost::lambdaについて
boost::lambdaはC++でlambda expressionを可能にしてくれる，なんというか非常に気持ち悪いながら，強力且つ便利なものです．
記法については，boostのページ（http://www.boost.org/doc/libs/1_35_0/doc/html/lambda.html（自分は余り読んでませんが…））に詳しく書いてありますが，次のように説明されることが多いようです．
#include <iostream> #include <algorithm> #include <iterator> #include <boost/lambda/lambda.hpp> using namespace boost::lambda; int main() { int a[5] = {1, 2, 3, 4, 5}; std::for_each(a, a+5, _1*=_1); std::copy(a, a+5, std::ostream_iterator<int>(std::cout, " ")); return 0; } // 出力： 1 4 9 16 25
…，何を言ってるのかわからねーと（以下略）．って感じですよね．
中身としてはlambda functorを返す巧妙な仕組みとなっています．つまり各演算子がオーバーロードされているので，_1*_1などを行えば返り値としてlambda functorが返ってくるわけです．対して，次のようなコードはエラーとなります．
double a[5] = {1, 2, 3, 4, 5}; std::for_each(a, a+5, _1=sin(_1)); // 'sin' : 3 オーバーロードのどれも、すべての引数の型を変換できませんでした
これは，boost::lambda::bindを用いると解決できます．
double (*pSin)(double) = &sin; std::for_each(a, a+5, _1 = bind(pSin, _1));
sinを直接書くとエラーになってしまうのはちょっと面倒ですが，bindすれば関数合成も出来ると思うと，ちょっと数値計算活用へ向けた期待が湧いてきます（※1）．
#include <iostream> #include <cmath> #include <algorithm> #include <iterator> #include <boost/function.hpp> #include <boost/lambda/lambda.hpp> #include <boost/lambda/bind.hpp> using namespace boost::lambda; int main() { double a[5] = {1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0}; double (*pSin)(double) = &sin; double (*pCos)(double) = &cos; boost::function<double(double)> f = bind(pSin, _1) * bind(pCos, _1); std::transform(a, a+5, a, f); std::copy(a, a+5, std::ostream_iterator<double>(std::cout, " ")); return 0; }
boost::lambdaを用いた積分計算
前置きが長くなりましたが，C++でよりシンプルに積分計算を行えないかと思い，実装を行ってみました．積分は，高校のときにも習ったかもしれませんが，次の式で近似することが出来ます．
（ただし）
しかしながら本式は誤差が大きく，例えばf(x) = x, a = 0, b = 5, N = 5としたとき，本来は 5 * 5 / 2 = 12.5 になって欲しいところが，10にしかなりません．N = 10にしても，11.25であり，1/Nでしか誤差が小さくなりません．Nを10000とか100000へ持っていければ良いのですが，コストを考えるとそこまで大きくは出来ません．
そこで，「シンプソンの積分公式」（※2）を用います．これは，kで参照している要素とk+1/2，k+1をそれぞれ重み付けして足すものです．
では，これを実装した積分関数integralを実装してみます．
/* @brief 等間隔ベクトルをセット @param[out] y 代入結果を格納する変数 @param[in] first 下限 @param[in] end 上限 @param[in] div セットする総データ数（下限〜上限までの分割数） */ template <class T, template <class A, class Allocator = std::allocator<A> > class Container> void makeVector(Container<T> &x, const T first, const T end, const int div) { if (div <= 0) { std::cout << "Error! div <= 0 (@setVector)" << std::endl; } for (int i=0; i<=div; i++) { x.push_back(first + ((end - first)*(T)i)/(T)div); } } /* @brief ファンクタを用いた代入 @param[out] y 代入結果を格納する変数 @param[in] x 代入に用いる引数 @param[in] func y=func(x) */ template <class T, template <class A, class Allocator = std::allocator<A> > class Container, typename Functor> void setVector(Container<T> &y, Container<T> &x, Functor func) { y.clear(); std::transform(x.begin(), x.end(), std::back_inserter(y), func); } /* @brief 積分計算 @param[in] from 積分範囲（下） @param[in] to 積分範囲（上） @param[in] integrand 被積分関数ファンクタ @param[in] N 分割数 */ template <class T, typename Functor> T integral(const T from, const T to, Functor integrand, const int div = 100) { // N const int N = div*2; // ?x const T dx = (to - from) * 2 / N; // x, y std::vector<T> x, y; makeVector(x, from, to, N); setVector(y, x, integrand); // 結果 T res = 0; int i = 0; while (i < N) { res += dx/6 * (y[i] + 4*y[i+1] + y[i+2]); i+=2; } return res; }
では，これを実行してみます．
double res; res = integral(0.0, pi, bind(sin, _1)); std::cout << res << std::endl; // 2 res = integral(0.0, pi, bind(cos, _1)); std::cout << res << std::endl; // 1.45717e-016
なかなか良さそうですね．
ひとつ気になるのが，なぜかsin, cosがそのままでコンパイル通るということですが…．
追記
cmathをインクルードしたときに，std名前空間の中には，オーバーロードされたstd::sinが3種類あります．
しかしながら
using namespace std;
すると，なぜか
double sin(double X)
のみになります．…なぜ？ちなみにVisual Studio 2008のインテリセンスで確認．
参考サイト
※1 http://d.hatena.ne.jp/Cryolite/20040907
boost::functionのコードを参考にさせて頂きました．というか，そもそもboost::functionをこのエントリーで知りました．感謝です．
※2 http://letsphysics.blog17.fc2.com/blog-entry-241.html
長方形近似の誤差が大きく困っていた際に「シンプソンの積分公式」を参考にさせて頂きました
